Odvodenie hraníc prenášaného činného a reaktančného výkonu

Striedavý výkon v uzle v 3-fázovej sieti vieme vyjadriť podľa vzorca: $$\bar{S} = 3 \bar{U}_f \bar{I}^*$$ kde: \overline{U}_f je fázové napätie $$\bar{I}$$ je prúd z uzla (napríklad do záťaže) Ak si vyjadríme výkon pomocou impedancie, platí vzťah: $$\bar{S} = 3 \frac{|\bar{U}_f|^2}{\bar{Z}}$$ kde: $$\bar{Z}$$ je celková impedancia siete. Celková impedancia siete sa skladá z impedancie vedenia $$\bar{Z}_v$$ a impedancie záťaže $$\bar{Z}_z$$, teda: $$\bar{Z} = \bar{Z}_v + \bar{Z}_z$$ Pre výkon dodávaný do siete potom platí: $$\bar{S} = 3 \frac{|\bar{U}_f|^2}{\bar{Z}_v + \bar{Z}_z}$$ V prípade odberových uzlov platí, že reálna časť impedancie záťaže je kladná. Po rozložení impedancií: $$\bar{Z}_v = R_v + jX_v,\quad \bar{Z}_z = R_z + jX_z$$ dostaneme: $$\bar{S} = 3 \frac{|\bar{U}_f|^2}{(R_v + R_z) + j(X_v + X_z)}$$ Keďže reaktancia môže byť aj záporná, imaginárna časť menovateľa môže byť aj nulová. Reálne zložky sú kladné, preto ich súčet je vždy väčší ako nula. Pre extrémny prípad môže byť odpor záťaže rovný nule. $$ 0 < R_v \leq R_v + R_z$$ Ak súčet reaktancií aj odpor záťaže sú nulové, dostávame maximálny výkon: $$\bar{S}_{\max} = 3 \frac{|\bar{U}_f|^2}{R_v}$$ Z toho vyplýva, že aj výkon odoberaný uzlom má maximálnu hodnotu (ktorá však nemusí byť rovná tejto). Výkon odoberaný uzlom vieme vyjadriť: $$\bar{S}_{\text{záťaž}} = 3 \frac{|\bar{U}_f|^2 \bar{Z}_z}{|\bar{Z}_v + \bar{Z}_z|^2} = 3 \frac{|\bar{U}_f|^2 \bar{Z}_z}{|\bar{Z}|^2}$$ Vyjadrime si impedanciu záťaže: $$\bar{Z}_z = \frac{\bar{S}_{\text{záťaž}}}{3} \cdot \frac{|\bar{Z}|^2}{|\bar{U}_f|^2}$$ Dosadením do rovnice pre celkovú impedanciu: $$\bar{Z} = \bar{Z}_v + \frac{\bar{S}_{\text{záťaž}}}{3} \cdot \frac{|\bar{Z}|^2}{|\bar{U}_f|^2}$$ Za určitých matematických podmienok vieme rovnicu upraviť tak, že do rovnosti dáme iba veľkosť (amplitúdu) ľavej a pravej strany: $$|\bar{Z}| = \left| \bar{Z}_v + \frac{\bar{S}_{\text{záťaž}}}{3} \cdot \frac{|\bar{Z}|^2}{|\bar{U}_f|^2} \right|$$ Po umocnení: $$|\bar{Z}|^2 = \left| \bar{Z}_v + \frac{\bar{S}_{\text{záťaž}}}{3} \cdot \frac{|\bar{Z}|^2}{|\bar{U}_f|^2} \right|^2$$ Použijeme vzťah: $$|\bar{A} + \bar{B}|^2 = |\bar{A}|^2 + 2 \Re\{\bar{A} \bar{B}^*\} + |\bar{B}|^2$$ Dostaneme: $$|\bar{Z}|^2 = |\bar{Z}_v|^2 + 2 \Re\left\{ \bar{Z}_v \left( \frac{\bar{S}_{\text{záťaž}}}{3} \cdot \frac{|\bar{Z}|^2}{|\bar{U}_f|^2} \right)^* \right\} + \left| \frac{\bar{S}_{\text{záťaž}}}{3} \cdot \frac{|\bar{Z}|^2}{|\bar{U}_f|^2} \right|^2$$ Po úprave dostaneme kvadratickú rovnicu pre premennú $$|\bar{Z}|^2$$: $$a (|\bar{Z}|^2)^2 + b |\bar{Z}|^2 + c = 0$$ kde: $$a = \frac{|\bar{S}_{\text{záťaž}}|^2}{9 |\bar{U}_f|^4}$$ $$b = 2 \Re\left\{ \frac{\bar{Z}_v \bar{S}_{\text{záťaž}}^*}{3 |\bar{U}_f|^2} \right\} - 1$$ $$c = |\bar{Z}_v|^2$$ Keďže $$|\bar{Z}|^2 > 0$$, rovnica má riešenie iba vtedy, keď jej diskriminant spĺňa: $$\Delta = b^2 - 4ac \ge 0$$ Po dosadení koeficientov $$a$$, $$b$$, $$c$$ a úprave dostaneme podmienku existencie riešenia priamo v závislosti od odberaného výkonu: $$\left(3|\bar{U}_f|^2 - 2(PR_v + QX_v)\right)^2 - 4\left(R_v^2 + X_v^2\right)\left(P^2 + Q^2\right) \geq 0$$ Keďže pre NN sieť typicky vieme napájacie napätie a impedanciu siete, táto nerovnosť nám zväzuje činný a reaktančný výkon odberu. Hranica dodávaných rovností je daná rovnosťou, t.j: $$\left(3|\bar{U}_f|^2 - 2(PR_v + QX_v)\right)^2 = 4\left(R_v^2 + X_v^2\right)\left(P^2 + Q^2\right)$$ Na prvý pohľad komplikovaná rovnica je iba rovnica paraboly, ktorá je zobrazená nižšie.

Aká je impedancia pri zadanom výkone?

Z predchádzajúceho odvodenia, ak by sme namiesto podmienky pre diskriminant rovnicu vyriešili pre $$|\bar{Z}|^2$$, dostali by sme riešenie: $$|\bar{Z}|^2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Ak má rovnica kladný nenulový diskriminant, výsledkom budú 2 kladné čísla vyjadrujúce veľkosť celkovej impedancie siete. Ak chceme zistiť impedanciu záťaže, pomôžeme si vzťahom vyjadrujúcim impedanciu pomocou výkonu a prúdu: $$\bar{Z}_z = \frac{\bar{S}_{\text{záťaž}}}{3 |\bar{I}|^2}$$ Prúd sa dá vyjadriť ako: $$\bar{I} = \frac{\bar{U}_f}{\bar{Z}}$$ A v tom prípade: $$\bar{Z}_z = \frac{\bar{S}_{\text{záťaž}}}{3} \cdot |\frac{\bar{Z}^2}{\bar{U}_f^2}| = \frac{\bar{S}_{\text{záťaž}}}{3} \cdot \frac{|\bar{Z}|^2}{|\bar{U}_f|^2}$$ Tým, že existujú 2 riešenia pre veľkosť impedancie siete, existujú aj 2 riešenia pre impedanciu (a zároveň napätie a prúd) záťaže. Je ale dôležité uvedomiť si fyzikálny stav siete pre jednotlivé riešenia. V prípade nízkej veľkosti impedancie záťaže nastáva veľký odber prúdu, čo spôsobí veľký úbytok napätia na vedení a tým pádom veľké straty v NN sieti. Pre riešenie komplikovanejšej siete sa používa iteratívna metóda, ako napríklad Gaussova iteračná metóda.

Gaussova iteračná metóda

V predchádzajúcich častiach bolo ukázané riešenie pre jednoduchú NN sieť - za napájacím napätím bolo jedno vedenie, za ktorým bol odber. Aj pre takúto jednoduchú sieť síce existovalo analytické riešenie, ale bolo pomerne komplikované. Preto sa namiesto analytického riešenia používajú numerické metódy, medzi ktoré patrí napríklad Gaussova iteračná metóda. Iteračné metódy vo všeobecnosti pracujú s počiatočným odhadom veličín v sieti a opakovaním jedného postupu (iteráciou) sa dosiahne požadovaná presnosti výsledku. Počet jednotlivých krokov iterácie závisí od komplexnosti siete, presnosti počiatočných odhadov a požadovanej presnosti.

Nutnosť používania numerických metód spočíva aj v tom, že nie vždy existuje numerické riešenie. Avšak ani toto nie je garancia, že iteračná metóda bude konvergovať k výsledku. Metóda môže aj divergovať, napríklad keď riešenie neexistuje alebo pre daný stav siete. Vtedy je nutné použiť inú metódu.

Pre NN siete spočíva Gaussova iteračná metóda v nasledovnom postupe:

Napis - h5 a príklad list, paragraf a novy riadok

paragraf V súčasnosti je u mnohých prevádzkovateľov prenosových sietí v rámci ENTSO-E istá forma DLR štandardom. V Spojených štátoch amerických sú prevádzkovatelia, na základe nariadenia FERC 881 z decembra 2021, povinný do roku 2025 implementovať minimálne nepriame formy DLR

• Dog
• Cats
• Turtles

toto je novy riadok

URL odkaz príklad. Časo použivane html tagy Tento link

Matematika

Rovnica kde je rovnica v strede . POuživa sa Latex formatovanie s tym že rovnica je v dvojitych znakoch $. AK je potrebne použiť formatovanie v riadku vid veličina a exponent dava sa matematika do tagov \\( ...\\) ale len s jednym lomitkom vid originalny text : $$ a=b+x$$ kde :

• a - veličina [A]
• b - veličina [D/m]
• x - veličina [W/m\(^2\)]