Priebeh skratového prúdu pri trojfázovom skrate

Priebeh skratového prúdu pri trojfázovom skrate

TS vedenie l = 100 km záťaž 3-fázový skrat l_skrat = 90 km
VÝSLEDKY VÝPOČTU
—
—
ZDROJ – IDEÁLNA TVRDÁ SIEŤ
S″k = ∞    ZTS = 0 Ω
UTS je napätie prípojnice (nie nominálne), v intervale UN ± 5 %; UN = 400 kV
VEDENIE / km
G₁ = 0 (zvod zanedbaný)
Admitancia vedenia B₁:
PARAMETRE SKRATU
natočenie fázora napätia fázy L1 v okamihu vzniku skratu
ZÁŤAŽ
AKCIA
Tk = čas trvania skratu (pre Ith)

Zmena slidera = okamžitý prepočet

Výpočtový program pre analytické riešenie priebehu skratového prúdu pri trojfázovom skrate

Výpočtový program počíta priebeh skratového prúdu v referenčnej fáze L1 pri trojfázovom súmernom skrate v jednoduchom obvode: ideálna tvrdá sieť (\(S_k'' = \infty\), \(\overline{Z}_{TS} = 0\)) napája cez vedenie záťaž. Trojfázový skrat je symetrická porucha, riešenie je len v súslednej zložkovej sústave.

Stav pred skratom – ustálený stav

Priebeh skratového prúdu je ovplyvnený aj prevádzkovým stavom pred skratom. Od okamžitej hodnoty prúdu pred skratom v okamihu vzniku skratu \(i_{\text{ust}}(0)\) je závislá začiatočná hodnota jednosmernej zložky skratového prúdu \(i_{DC}(0)\). Prúd pred skratom je stanovený impedanciou obvodu pred skratom.

Impedancia vedenia:

\[ \overline{Z}_{v} = \left( R_{1} + jX_{1} \right)\cdot l \]

Admitancia vedenia:

\[ \overline{Y}_{v} = \left( G_{1} + jB_{1} \right)\cdot l \]

Impedancia záťaže (model konštantnej impedancie):

\[ \overline{Z}_{záťaž} = \frac{U_{záťaž}^{2}}{\overline{S}_{záťaž}^{*}} \]

Vedenie je nahradené gama článkom s priečnou vetvou na strane záťaže. Impedancia obvodu pred skratom je v riešenom prípade daná impedanciou a admitanciou vedenia a impedanciou záťaže:

\[ \overline{Z}_{\text{ust}} = \overline{Z}_{v} + \left( \overline{Y}_{v} + \frac{1}{\overline{Z}_{záťaž}} \right)^{-1} = Z_{\text{ust}}\angle\varphi_{\text{ust}} \]

Pri voľbe „admitancia zanedbaná" (\(\overline{Y}_{v} = 0\)) sa vzťah zjednoduší na \(\overline{Z}_{\text{ust}} = \overline{Z}_{v} + \overline{Z}_{záťaž}\). V stave naprázdno potom prúd pred skratom netečie; s uvažovanou admitanciou tečie kapacitný nabíjací prúd vedenia.

Napätie tvrdej siete – referenčnej fázy L1:

\[ u_{TS\_L1}(t) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\,U_{TS}\sin(\omega t + \alpha) \]

Znamienko pri uhle \(\varphi_{\text{ust}}\) v nasledujúcich vzťahoch závisí od charakteru prúdu pred skratom: pri indukčnom charaktere záťaže prúd za napätím zaostáva a platí znamienko mínus, pri kapacitnom charaktere prúd napätie predbieha a platí znamienko plus. Prúd v ustálenom stave pred skratom:

\[ \overline{I}_{\text{ust}} = \frac{\overline{U}_{TS}}{\sqrt{3}\;\overline{Z}_{\text{ust}}} = \frac{U_{TS}}{\sqrt{3}\;Z_{\text{ust}}}\angle\left(\alpha \pm \varphi_{\text{ust}}\right) \]

Amplitúda prúdu pred skratom \(I_{ust\_m} = \sqrt{2}\,I_{\text{ust}}\). Priebeh prúdu pred skratom:

\[ i_{\text{ust}}(t) = I_{ust\_m}\sin(\omega t + \alpha \pm \varphi_{\text{ust}}) \]

Okamžitá hodnota prúdu pred skratom (t = 0 s):

\[ i_{\text{ust}}(0) = I_{ust\_m}\sin(\alpha \pm \varphi_{\text{ust}}) \]

V paneli výsledkov sa zobrazuje znamienková hodnota uhla \(\varphi_{\text{ust}}\) (pri kapacitnom charaktere záporná), ktorá oba prípady zahŕňa automaticky.

Stav počas skratu – prechodný dej

Priebeh skratového prúdu vychádza z riešenia diferenciálnej rovnice pre skratový obvod:

\[ u_{L1}(t) = R_{k}\,i_{k}(t) + L_{k}\frac{di_{k}(t)}{dt} \]

Vektor impedancie skratového obvodu:

\[ \overline{Z}_{k} = Z_{k}\angle\varphi_{k} = R_{k} + j\omega L_{k} = R_{k} + jX_{k} \]

Skratová impedancia je v riešenom prípade daná impedanciou vedenia a miestom skratu na vedení:

\[ \overline{Z}_{k} = \overline{Z}_{v}\,\frac{l_{\text{skrat}}}{l} \]

Pri výpočte skratových pomerov sa priečne admitancie zariadení štandardne zanedbávajú, pretože ich vplyv na skratovú impedanciu je minimálny.

Skratový prúd je daný súčtom periodickej striedavej zložky (ustálenej) a aperiodickej jednosmernej zložky (voľnej):

\[ i_{k}(t) = i_{\text{ks}}(t) + i_{DC}(t) \]

Prúd v obvode s indukčnosťou sa nemôže meniť skokom, a preto musí platiť \(i_{k}(0) = i_{\text{ust}}(0) = i_{\text{ks}}(0) + i_{DC}(0)\) — v okamihu vzniku skratu (t = 0 s) je okamžitá hodnota skratového prúdu \(i_k\) rovnaká ako okamžitá hodnota prúdu pred skratom \(i_{\text{ust}}\).

Začiatočná hodnota jednosmernej zložky skratového prúdu \(i_{DC}(0)\) je daná rozdielom prúdu pred skratom \(i_{\text{ust}}(0)\) a striedavej zložky skratového prúdu \(i_{\text{ks}}(0)\):

\[ i_{DC}(t) = i_{DC}(0)\,e^{\frac{-t}{T_{DC}}} = \left\lbrack i_{\text{ust}}(0) - i_{\text{ks}}(0) \right\rbrack e^{\frac{-t}{T_{DC}}} \]

Jednosmerná zložka klesá s časovou konštantou danou parametrami skratového obvodu:

\[ T_{DC} = \frac{L_{k}}{R_{k}} = \frac{X_{k}}{\omega R_{k}} \]

Striedavá zložka skratového prúdu je daná napätím tvrdej siete (zdroja) a skratovou impedanciou:

\[ i_{\text{ks}}(t) = \frac{U_{TS\_L1\_m}}{Z_{k}}\sin(\omega t + \alpha - \varphi_{k}) = I_{ks\_m}\sin(\omega t + \alpha - \varphi_{k}) \]

\(\alpha\) definuje okamih vzniku skratu – natočenie fázora napätia referenčnej fázy L1 v okamihu vzniku skratu: \( u_{TS\_L1}(t) = U_{TS\_L1\_m}\sin(\omega t + \alpha) \rightarrow u_{TS\_L1}(0) = U_{TS\_L1\_m}\sin(\alpha) \). \(U_{TS\_L1\_m}\) je amplitúda fázového napätia zdroja \(U_{TS\_L1\_m} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}U_{TS}\).

Celkový skratový prúd:

\[ i_{k}(t) = I_{ks\_m}\sin(\omega t + \alpha - \varphi_{k}) + \left\lbrack I_{ust\_m}\sin(\alpha \pm \varphi_{\text{ust}}) - I_{ks\_m}\sin(\alpha - \varphi_{k}) \right\rbrack e^{-\frac{t}{T_{DC}}} \]

Maximálna okamžitá hodnota skratového prúdu

Maximálna okamžitá hodnota skratového prúdu nastáva v čase dosiahnutia 1. amplitúdy striedavej zložky skratového prúdu po vzniku skratu, je daná súčtom amplitúdy striedavej zložky a hodnotou klesajúcej jednosmernej zložky:

\[ i_{k}(t_{m}) = \pm I_{ks\_m} + i_{DC}(t_{m}) = \pm I_{ks\_m} + i_{DC}(0)\,e^{\frac{-t_{m}}{T_{DC}}} \]

Čas dosiahnutia maximálnej okamžitej hodnoty skratového prúdu \(t_m\) je daný argumentom sínusu striedavej zložky skratového prúdu:

\[ \sin(\omega t_{m} + \alpha - \varphi_{k}) = \pm 1 \;\rightarrow\; \omega t_{m} + \alpha - \varphi_{k} = \pm 90° \;\rightarrow\; t_{m} = \frac{\pm 90° - \alpha + \varphi_{k}}{\omega} \quad \textit{(pozn. } \omega \textit{ je v °/s)} \]

Čas dosiahnutia maximálnej okamžitej hodnoty skratového prúdu \(t_m\) je vždy menší ako 0.01 s – maximum skratového prúdu nastáva v polperióde od vzniku skratu.

Analýza priebehu skratového prúdu

Vplyv pomeru \(R_k/X_k\) na priebeh skratového prúdu

Z hľadiska elektrických, tepelných a mechanických účinkov skratových prúdov je priaznivé, ak jednosmerná (aperiodická) zložka skratového prúdu zaniká čo najrýchlejšie, teda keď časová konštanta jej útlmu \(T_{DC}\) nadobúda menšie hodnoty.

Dlhšie pretrvávajúca jednosmerná zložka spôsobuje zvýšenie okamžitých hodnôt skratového prúdu, a tým aj väčšie dynamické namáhanie elektrických zariadení. Súčasne zvyšuje tepelné účinky skratu, pretože predlžuje čas pôsobenia vyšších prúdových hodnôt. Množstvo uvoľneného tepla je pritom úmerné integrálu \(\int i_{k}^{2}\,dt\), takže pomalý zánik jednosmernej zložky vedie k väčšiemu tepelnému namáhaniu zariadení elektrickej siete.

V nízkonapäťových (NN) a vysokonapäťových (VN) sieťach býva odpor obvodu relatívne veľký v porovnaní s jeho reaktanciou, teda pomer \(R_k/X_k\) je vyšší. Preto jednosmerná zložka skratového prúdu zaniká pomerne rýchlo a jej vplyv na priebeh skratu je menej výrazný.

Naopak, v sieťach veľmi vysokého napätia (VVN) a zvlášť vysokého napätia (ZVN) je charakteristické, že reaktancia výrazne prevyšuje odpor (\(X_k \gg R_k\)). Časová konštanta preto dosahuje vyššie hodnoty a jednosmerná zložka zaniká pomaly. V dôsledku toho sú maximálne okamžité hodnoty skratového prúdu vyššie a zariadenia musia byť navrhnuté na väčšie elektrodynamické aj tepelné namáhanie.

Z uvedeného vyplýva, že pomer \(R_k/X_k\) je jedným z rozhodujúcich parametrov ovplyvňujúcich priebeh skratového prúdu, veľkosť nárazového prúdu a celkové účinky skratu na elektrickú sieť a jej zariadenia.

Jednotlivé prípady si možno zobraziť v interaktívnom nástroji (α = 0°, P = Q = 0, admitancia zanedbaná, ostatné parametre východiskové):

PrípadNastavenieVýsledok
pomaly klesajúca iDCR₁ = 0.022 Ω/km (východisková)TDC = 43.7 ms
rýchlo klesajúca iDCR₁ = 0.24 Ω/kmTDC = 4 ms
neklesajúca iDC (teoretický prípad)R₁ = 0 Ω/kmTDC = ∞ (Rk = 0)

Vplyv charakteru prúdu pred skratom na priebeh skratového prúdu

Výpočty sú realizované pre najnepriaznivejší okamih vzniku skratu \(\alpha = 0°\) a rovnakú efektívnu hodnotu prúdu pred skratom \(I_{\text{ust}} \approx 2061\) A. Nastavenia v interaktívnom nástroji (α = 0°, admitancia zanedbaná, ostatné parametre východiskové):

Charakter prúdu pred skratomNastavenieDôsledokik(tm)
čisto činnýP ≈ 1290 MW, Q ≈ −335 MVAriust(0) = 0 A22 350.16 A
čisto indukčnýP = 0 MW, Q ≈ 1860 MVAriust(0) ≈ −Iust_m (záporná amplitúda prúdu pred skratom)20 019.11 A
čisto kapacitnýP = 0 MW, Q ≈ −1093 MVAriust(0) ≈ +Iust_m (kladná amplitúda prúdu pred skratom)24 681.20 A

Pri čisto činnom charaktere záporné Q kompenzuje reaktanciu vedenia tak, aby bol prúd vo fáze s napätím zdroja (\(\varphi_{\text{ust}} = 0\)).

Charakter prúdu pred skratom ovplyvňuje:

  • okamžité hodnoty prúdov v okamihu vzniku skratu \(i_{\text{ust}}(0)\), \(i_{\text{ks}}(0)\), \(i_{DC}(0)\),
  • maximálnu okamžitú hodnotu skratového prúdu \(i_{k}(t_m)\) — najvyššia vychádza pri kapacitnom charaktere, najnižšia pri indukčnom.

Vplyv veľkosti prúdu pred skratom na priebeh skratového prúdu

Výpočty sú realizované pre najnepriaznivejší okamih vzniku skratu \(\alpha = 0°\) a indukčný charakter prúdu pred skratom (pomer P : Q = 3 : 1 ako vo východiskovom stave). Nastavenia v interaktívnom nástroji (admitancia zanedbaná):

Efektívna hodnota IustNastavenieik(tm)
≈ 2000 AP ≈ 1448 MW, Q ≈ 483 MVAr21.14 kA
≈ 500 AP ≈ 325 MW, Q ≈ 108 MVAr22.05 kA
0 A (stav naprázdno)P = 0, Q = 0, admitancia zanedbaná22.35 kA — najvyššia hodnota

Podľa normy STN EN 60909 sa skratové prúdy počítajú zo stavu naprázdno pred vznikom skratu, t.j. neuvažuje sa zaťaženie siete.

Veľkosť prúdu pred skratom ovplyvňuje:

  • okamžité hodnoty prúdov v okamihu vzniku skratu \(i_{\text{ust}}(0)\), \(i_{\text{ks}}(0)\), \(i_{DC}(0)\),
  • maximálnu okamžitú hodnotu skratového prúdu \(i_{k}(t_m)\).

Vplyv okamihu vzniku skratu na priebeh skratového prúdu

Výpočty sú realizované pre stav naprázdno – nulový prúd pred skratom (P = Q = 0, admitancia zanedbaná – inak tečie kapacitný nabíjací prúd vedenia). V nástroji stačí meniť α; presné hodnoty (−4.17°, 85.83°) sa zadávajú číselným poľom „α presne" (pre východiskové parametre je \(\varphi_k = 85.83°\)):

αik(tm)tmPoznámka
α = 0°22 350 A9.77 msiDC(0) = 12 401 A — najnepriaznivejší okamih vzniku skratu
α = \(\varphi_k\) − 90° = −4.17°22 324 A10 ms (polperióda)vznik kladnej max. jednosmernej zložky, iDC(0) = 12 434 A
α = \(\varphi_k\) = 85.83°12 434 A5 ms (štvrťperióda)iDC(0) = 0 — jednosmerná zložka nevzniká
α = +90°11 624 A4.77 msv kladnej amplitúde napätia, iDC(0) = −903 A
α = −90°−11 624 A4.77 msv zápornej amplitúde napätia, iDC(0) = +903 A

Zadávanie α je obmedzené na interval −90° až 90°: pre α > 90° (napr. 180°) nevzniká maximum skratového prúdu do 0.01 s v referenčnej fáze L1, vzniká však v inej fáze sústavy (výpočet tm platí analogicky pre zápornú iDC(0)).

Okamih vzniku skratu ovplyvňuje:

  • okamžité hodnoty prúdov v okamihu vzniku skratu \(i_{\text{ust}}(0)\), \(i_{\text{ks}}(0)\), \(i_{DC}(0)\),
  • čas dosiahnutia maximálnej okamžitej hodnoty skratového prúdu \(t_m\),
  • maximálnu okamžitú hodnotu skratového prúdu \(i_{k}(t_m)\),
  • najnepriaznivejší okamih vzniku skratu je \(\alpha = 0°\) (resp. 180°).

Výpočet podľa normy STN EN 60909

Pri výpočte skratových prúdov podľa normy sa predpokladajú nasledujúce zjednodušenia:

  • zanedbávajú sa všetky kapacity vedení, priečne admitancie a netočivé statické záťaže, okrem priečnych v netočivej zložkovej sústave,
  • všetky zdroje skratového prúdu sa nahrádzajú svojou vnútornou impedanciou,
  • jediný aktívny zdroj napätia je ekvivalentný napäťový zdroj v mieste skratu, napätie je dané \(\frac{c\,U_{n}}{\sqrt{3}}\),
  • c je súčiniteľ napätia; pre výpočet maximálnych skratových prúdov je súčiniteľ c pre jednotlivé napäťové hladiny nasledovný: c = 1.05 (pre 400 kV); c = 1.1 (pre 110 kV, 22 kV, 400 V).

Začiatočný rázový skratový prúd:

\[ I_{k}'' = \frac{c\,U_{n}}{\sqrt{3}\,Z_{k}} \]

Začiatočný rázový skratový prúd je efektívna hodnota striedavej zložky skratového prúdu \(I_{\text{ks}}\).

Nárazový skratový prúd:

\[ i_{p} = K\sqrt{2}\;I_{k}'' \]

Nárazový skratový prúd \(i_p\) je maximálna možná okamžitá hodnota skratového prúdu \(i_k(t_m)\) pre najhorší okamih vzniku skratu \(\alpha = 0°\). K je nárazový súčiniteľ závislý od pomeru \(R_k/X_k\):

\[ K = 1.02 + 0.98\,e^{-3R_{k}/X_{k}} \]

Vypínací skratový prúd: pre elektricky vzdialený skrat je symetrický vypínací skratový prúd rovný začiatočnému rázovému skratovému prúdu \(I_{b} = I_{k}''\).

Otepľovací skratový prúd pre čas trvania skratu \(T_k\):

\[ I_{\text{th}} = I_{k}''\sqrt{m + n}, \qquad m = \frac{1}{2fT_{k}\ln(K - 1)}\left\lbrack e^{4fT_{k}\ln(K - 1)} - 1 \right\rbrack \]

Pre elektricky ďaleké skraty je n = 1.