Komplexné čísla – Argandov diagram

Komplexné čísla – interaktívny Argandov diagram

ZOBRAZENIE
OPERÁCIA   z₁ ○ z₂
KRUŽNICE   |z|
z₁  —  modrá
z₂  —  červená
HODNOTY

                    

                


            

        

    

    


    
    


        
Komplexné čísla a Argandov diagram


        
Čo je komplexné číslo?

        

            Komplexné číslo je rozšírením reálnych čísel o imaginárnu jednotku \(j\)
            (v elektrotechnike) alebo \(i\) (v matematike), kde platí \(j^2 = -1\).
            Každé komplexné číslo \(\underline{z}\) možno zapísať v
            algebraickom (kartézskom) tvare:
        

        

            \[
                \underline{z} = a + j\,b, \qquad a,\, b \in \mathbb{R}
            \]
        

        

            kde \(a = \mathrm{Re}(\underline{z})\) je reálna časť
            a \(b = \mathrm{Im}(\underline{z})\) je imaginárna časť.
            Reálne čísla sú špeciálnym prípadom komplexných čísel, kde \(b = 0\).
        


        
Argandov diagram (komplexná rovina)

        

            Komplexné číslo možno zobraziť ako bod alebo fázor (vektor)
            v dvojrozmernej rovine — Argandovom diagrame (tiež komplexná rovina
            alebo Gaussova rovina). Horizontálna os je reálna os, vertikálna os je
            imaginárna os.
        

        
    
            
  • 
                Reálna os (horizontálna): hodnoty \(a = \mathrm{Re}(\underline{z})\)
            
    • 
            
  • 
                Imaginárna os (vertikálna): hodnoty \(b = \mathrm{Im}(\underline{z})\)
            
    • 
            
  • 
                Komplexné číslo \(\underline{z} = a + jb\) je zobrazené ako bod so súradnicami
                \((a,\, b)\) a ako šípka (vektor) z počiatku do tohto bodu.
            
    • 
            
  • 
                Šedé prerušované čiary ukazujú projekcie vektora na obe osi —
                dĺžky týchto úsečiek sú práve reálna časť \(a\) a imaginárna časť \(b\).
            
    • 
        


        
Absolútna hodnota (modul) a argument (uhol)

        

            Každé komplexné číslo možno popísať aj v polárnom tvare
            pomocou dvoch veličín: absolútnej hodnoty \(|\underline{z}|\) (dĺžka vektora)
            a argumentu \(\varphi\) (uhol od kladnej reálnej osi):
        

        

            \[
                |\underline{z}| = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad
                \varphi = \arg(\underline{z}) = \mathrm{atan2}(b,\, a)
            \]
        

        

            Prepojenie medzi algebraickým a polárnym tvarom vyjadruje
            Eulerov vzorec:
        

        

            \[
                \underline{z} = |\underline{z}|\, e^{j\varphi}
                              = |\underline{z}|\,(\cos\varphi + j\sin\varphi)
            \]
        

        

            V diagrame je uhol \(\varphi\) znázornený oblúkom medzi kladnou reálnou osou
            a vektorom, s popiskom \(\varphi\) pri oblúku. Absolútna hodnota \(|\underline{z}|\)
            je zobrazená ako popisok pozdĺž vektora.
        


        
Súčet a rozdiel komplexných čísel

        

            Sčítavanie a odčítavanie komplexných čísel sa vykonáva zvlášť po reálnych
            a imaginárnych zložkách:
        

        

            \[
                \underline{z}_1 + \underline{z}_2 = (a_1 + a_2) + j\,(b_1 + b_2)
            \]
        

        

            \[
                \underline{z}_1 - \underline{z}_2 = (a_1 - a_2) + j\,(b_1 - b_2)
            \]
        

        

            Geometrická interpretácia súčtu — pravidlo rovnobežníka:
            Výsledný vektor \(\underline{z}_3 = \underline{z}_1 + \underline{z}_2\) je
            diagonálou rovnobežníka zostrojeného na vektoroch \(\underline{z}_1\) a \(\underline{z}_2\).
            V diagrame to znázorňuje prerušovaná čiara z hrotu \(\underline{z}_1\) po hrot
            \(\underline{z}_3\) — zobrazuje posunutý vektor \(\underline{z}_2\).
        

        

            Pri rozdiele \(\underline{z}_3 = \underline{z}_1 - \underline{z}_2\)
            môžeme písať \(\underline{z}_1 + (-\underline{z}_2)\), teda sčítame \(\underline{z}_1\)
            s opačným vektorom \(\underline{z}_2\) otočeným o \(180°\).
        


        
Kružnica konštantnej absolútnej hodnoty

        

            Všetky komplexné čísla s rovnakou absolútnou hodnotou \(|\underline{z}| = r\)
            ležia na kružnici so stredom v počiatku a polomerom \(r\).
            Ak sa mení len uhol \(\varphi\) (pri konštantnom \(r\)), bod sa pohybuje
            po tejto kružnici. Zapnutím voľby Kružnice |z| v nástroji
            môžete vidieť, na akej kružnici sa každé z komplexných čísel nachádza.
        

        

            \[
                \bigl\{\, \underline{z} \in \mathbb{C} \;\big|\; |\underline{z}| = r \,\bigr\}
                \quad \Leftrightarrow \quad a^2 + b^2 = r^2
            \]
        


        
Komplexná exponenciála a rotácia

        

            Násobenie komplexného čísla \(\underline{z}\) číslom \(e^{j\alpha}\)
            ho rotuje o uhol \(\alpha\) v komplexnej rovine bez
            zmeny jeho absolútnej hodnoty — ide o čistú rotáciu:
        

        

            \[
                \underline{z}' = \underline{z}\cdot e^{j\alpha}
                               = |\underline{z}|\, e^{j(\varphi + \alpha)}
            \]
        

        

            Tento princíp je kľúčový v teórii striedavých elektrických obvodov —
            fázor napätia alebo prúdu rotuje s uhlovou frekvenciou \(\omega = 2\pi f\).
            Impedancie (odpor, reaktancia) sú tiež komplexné čísla a pri násobení
            fázoru impedanciou vzniká fázový posun.
        


        
Použitie komplexných čísel v elektrotechnike

        

            V elektrotechnike sa komplexné čísla využívajú na opis striedavých veličín
            v ustálenom stave (fázorový počet). Napätie \(\underline{U}\), prúd \(\underline{I}\)
            a impedancia \(\underline{Z}\) sú komplexné veličiny, ktoré spĺňajú Ohmov zákon
            v komplexnom tvare:
        

        

            \[
                \underline{U} = \underline{Z} \cdot \underline{I},
                \qquad
                \underline{Z} = R + j\,X
            \]
        

        

            kde \(R\) je odpor a \(X\) je reaktancia. Absolútna hodnota
            \(|\underline{Z}| = \sqrt{R^2 + X^2}\) je impedancia obvodu a
            \(\varphi = \arg(\underline{Z})\) je fázový uhol medzi napätím a prúdom.
        


        
Ako používať interaktívny nástroj

        
    
            
  • 
                Zobrazenie: Prepínačom vyberte rozsah zobrazenia.
                Jeden bod zobrazuje iba z₁; Dva body pridáva z₂;
                Matematická operácia zobrazí aj výsledok z₃ = z₁ ○ z₂
                vrátane geometrickej konštrukcie (prerušovaná čiara z hrotu z₁ do z₃).
            
    • 
            
  • 
                Operácia z₁ ○ z₂: Vyberte, či sa počíta
                súčet \(\underline{z}_3 = \underline{z}_1 + \underline{z}_2\)
                alebo rozdiel \(\underline{z}_3 = \underline{z}_1 - \underline{z}_2\).
                Operácia je dostupná vždy — výsledok sa zobrazí len v režime
                Matematická operácia.
            
    • 
            
  • 
                Kružnice |z|: Zapnutím sa zobrazia kružnice s polomerom
                rovným absolútnej hodnote príslušného vektora — vidíte, po akej kružnici
                by sa bod pohyboval pri zmene len uhla \(\varphi\).
            
    • 
            
  • 
                Slidery |z| a φ [°]: Ovládajú absolútnu hodnotu
                (dĺžku vektora) a uhol každého komplexného čísla v polárnom tvare.
                Rozsah |z|: 0 až 141,4 (uhlopriečka štvorca 100×100);
                rozsah φ: −180° až +180°.
            
    • 
            
  • 
                Projekcie: Šedé prerušované čiary a bodky na osiach
                znázorňujú projekcie vektora — reálnu časť \(a\) (na reálnej osi)
                a imaginárnu časť \(b\) (na imaginárnej osi).
            
    • 
            
  • 
                Prehľad hodnôt: Panel Hodnoty zobrazuje aktuálne
                \(a\), \(b\), \(|\underline{z}|\) a \(\varphi\) pre každé viditeľné
                komplexné číslo.
            
    • 
            
  • 
                Ťahanie bodov myšou: Kliknite a podržte farebný bod
                (koniec vektora z₁ alebo z₂) a pretiahnite ho priamo v diagrame —
                sliders sa automaticky aktualizujú. Kurzor sa zmení na ✋ pri nájazde
                na chytateľný bod.
            
    • 
            
  • 
                Najazdenie myšou na body: Pri najazdení na koniec vektora
                (farebný bod) sa zobrazí tooltip s hodnotami \(a\), \(b\), \(|\underline{z}|\)
                a \(\varphi\).
            
    •