VL-mechanika_kratke_roz_1span

Krátke rozpätia – vplyv tiaže izolátorov a zväzkových vodičov

VÝSLEDKY VÝPOČTU

—

GEOMETRIA ROZPÄTIA

rozpätie a_total30.0 m

výška ZB I V_z'20.0 m

výška ZB II V_z''20.0 m

prevýšenie ZB = 0.0 m

IZOLÁTOR A ZVÄZOK

dĺžka izolátora b_i6.640 m

hmotnosť izol. W_i425 kg

počet vodičov vo zväzku n_b1

Pri b_i = 0 a W_i = 0 prejde výpočet na klasické rozpätie bez izolátorov.

STAVOVÁ ROVNICA

Východiskový stav 0

sila F_h04500 N

napätie σ_h05.62 MPa

teplota ϑ₀-5 °C

preťaženie z₀1.00

Nový stav 1

teplota ϑ₁40 °C

preťaženie z₁1.00

Zobrazený stav: stav 0 stav 1

zobraziť aj druhý stav čiarkovane

VODIČ AlFe 750/43

w_c	= 2,432 kg/m
S	= 801,2 mm²
E	= 62 300 MPa
α	= 2,11·10⁻⁵ 1/°C
g	= 9,81 m/s²

F_h je sila na jeden vodič zväzku; celkový ťah v ZB je n_b·F_h.

Prečo sa pri krátkych rozpätiach nedá zanedbať tiaž izolátorov

Pri bežných rozpätiach je hmotnosť vodiča oveľa vyššia než hmotnosť izolátorových závesov, takže ich vplyv na horizontálnu silu možno zanedbať. V krátkych rozpätiach to neplatí — typicky ide o krátke kotevné úseky (pod cca 150 m), zaústenia vedení do elektrických staníc a napínané prepoje v staniciach. Kotevný izolátor sa tu vychýli do polohy danej rovnováhou momentov a tým skráti vlastné rozpätie vodiča, čo výrazne mení výsledný ťah.

Vychýlenie izolátora

Pre sústavu izolátor–vodič musí byť v ustálenom stave súčet momentov nulový. Izolátor dĺžky \(b_i\) a hmotnosti \(W_i\) sa ustáli s vodorovnou výchylkou \(b_x\) a zvislou výchylkou \(b_y\):

\[ F_v\,b_x - F_h\,n_b\,b_y = 0, \qquad b_i^2 = b_x^2 + b_y^2 \]

Zvislá sila v závesnom bode je súčtom tiaže vodičov po vrchol reťazovky a polovice tiaže izolátora:

\[ F_v(l) = \frac{1}{2}W_i\,g + w_c\,z\,n_b\,l\,g \]

Riešením oboch rovníc dostaneme kladné výchylky ako funkciu \(F_v\):

\[ b_x = \frac{b_i\,F_h\,n_b}{\sqrt{(F_h\,n_b)^2 + F_v^2}}, \qquad b_y = \frac{b_i\,F_v}{\sqrt{(F_h\,n_b)^2 + F_v^2}} \]

Dĺžka vodiča — iteračný výpočet

Parameter reťazovky jedného vodiča zväzku a vlastné rozpätie vodiča po odčítaní priemetov izolátorov:

\[ c = \frac{F_h}{w_c\,z\,g}, \qquad a = a_{total} - (b_x' + b_x''), \qquad V' = V_z' - b_y', \qquad V'' = V_z'' - b_y'' \]

Poloha vrcholu reťazovky a dĺžky vetiev od závesných bodov po vrchol:

\[ a' = a - \left[\mathrm{asinh}\left(\frac{V''-V'}{2c\,\sinh\frac{a}{2c}}\right) + \frac{a}{2c}\right]c, \qquad a'' = a - a' \]

\[ l_t' = c\,\sinh\left(\frac{a'}{c}\right), \qquad l_t'' = c\,\sinh\left(\frac{a''}{c}\right), \qquad l = l_t' + l_t'' \]

Vplyvom ťahu sa vodič kontrahuje, takže pre výpočet zvislých síl sa použijú dĺžky \(l' = l_t'\left(1 - \frac{F_h}{E S}\right)\) a obdobne \(l''\). Výpočet je iteračný: začne sa odhadom \(b_x' = b_x'' = b_i\), \(b_y' = b_y'' = 0\), z neho sa určí geometria, dĺžky, zvislé sily a z nich nové výchylky izolátorov. Iterácia sa opakuje, kým sa výchylky medzi krokmi nezmenia o viac ako zvolená presnosť — pri bežných parametroch stačí menej než desať krokov.

Stavová rovnica

Zmena teploty z \(\vartheta_0\) na \(\vartheta_1\) predĺži vodič o \(\Delta l_\vartheta = l_0\,\alpha\,(\vartheta_1-\vartheta_0)\), zmena ťahu ho kontrahuje o \(\Delta l_F = \frac{l_0}{ES}(F_{h0}-F_{h1})\). Z podmienky \(\Delta l = l_1 - l_0 = \Delta l_\vartheta - \Delta l_F\) vyplýva všeobecná stavová rovnica:

\[ l_0\left(\alpha(\vartheta_1-\vartheta_0) + \frac{F_{h1}-F_{h0}}{E S}\right) + l_0 - l_1 = 0 \]

Na rozdiel od klasickej stavovej rovnice tu \(l_1\) nie je jednoduchý vzorec, ale výsledok celého iteračného výpočtu vyššie — závisí od \(F_{h1}\) cez parameter reťazovky aj cez vychýlenie izolátorov. Hľadá sa teda \(F_{h1}\), pre ktoré sa ľavá strana rovná nule. Keďže ľavá strana je rastúcou funkciou \(F_{h1}\) (vyšší ťah zväčšuje pružné predĺženie a súčasne skracuje reťazovku), koreň je jediný a dá sa spoľahlivo nájsť polením intervalu. Preťaženie \(z_1\) vstupuje do výpočtu cez jednotkovú tiaž vodiča, teda cez parameter \(c\) a zvislé sily.

Verifikácia

Metodika bola overená porovnaním s programom PLS-CADD, ktorý rieši rovnakú úlohu metódou konečných prvkov. Pre rozpätie 30 m, silu \(F_{h0} = 4500\) N, prevýšenie závesných bodov 0 až 15 m a teploty −30 až +80 °C bola najväčšia odchýlka horizontálnej sily 1,08 % (trojzväzkový vodič). Parametre verifikácie nastaví tlačidlo v paneli stavovej rovnice.

veličina	hodnota	veličina	hodnota
b_i	6,640 m	S	801,2 mm²
W_i	425 kg	E	62 300 MPa
w_c	2,432 kg/m	α	2,11·10⁻⁵ 1/°C
a_total	30 m	ϑ₀	−5 °C
F_h0	4500 N	z₀ = z₁	1

Samostatnou kontrolou správnosti je degenerácia modelu: pri \(b_i \to 0\), \(W_i \to 0\) a \(n_b = 1\) musí dať tento všeobecný výpočet rovnaký výsledok ako klasická stavová rovnica bez izolátorov. Pri uvedených parametroch sa obe riešenia zhodujú s odchýlkou pod 0,02 %, pričom ide o dve úplne nezávislé formulácie.