Rovnica reťazovky a jej posun do súradníc rozpätia

Vodič upevnený v dvoch závesných bodoch sa vplyvom vlastnej tiaže sformuje do tvaru reťazovky. Riešením diferenciálnej rovnice previsnutého vodiča je funkcia \(y = c\cdot\cosh(x/c)\), kde \(c\) je parameter reťazovky. Ten je daný pomerom horizontálnej sily a tiaže vodiča na jednotku dĺžky, pričom prídavné zaťaženie (námraza, vietor) vstupuje cez preťaženie \(z\):

Pre výpočet polohy vodiča voči terénu je vhodné posunúť súradnicovú sústavu tak, aby počiatok ležal v päte prvého stožiara. Reťazovka sa posunie v smere \(x\) o \(a'\) a v smere \(y\) o \(-c+h\):

Veličina \(a'\) je horizontálna vzdialenosť od prvého stožiara po najnižší bod vodiča a \(h\) je výška tohto bodu nad nulou. Z rozdielu výšok závesných bodov \(W = V_2 - V_1\) vyplýva:

Dĺžka vodiča v nesúmernom rozpätí sa získa krivkovým integrálom v medziach \(0\) až \(a\):

V súmernom poli sa dá dĺžka aproximovať prvými dvoma členmi Taylorovho radu:

Priehyby

Priehyb je zvislá vzdialenosť medzi spojnicou závesných bodov a vodičom. Spojnica je priamka \(k(x) = \frac{V_2-V_1}{a}x + V_1\) a priehyb v ľubovoľnom bode je \(f_x = k(x) - g(x)\). Rozlišujú sa tri charakteristické hodnoty.

Maximálny priehyb sa vzťahuje na ideálne (súmerné) pole. Meria sa od vodorovnej priamky \(j = \max(V_1, V_2)\) po najnižší bod vodiča, teda v mieste \(x = a'\):

Charakteristický priehyb je zvislá vzdialenosť medzi spojnicou a vodičom v strede rozpätia:

Viditeľný priehyb je skutočný najväčší priehyb v nesúmernom poli. Nachádza sa tam, kde je dotyčnica k priehybovej krivke rovnobežná so spojnicou závesných bodov, teda kde sa prvá derivácia rovná \(\tan\Phi = \frac{V_2-V_1}{a}\):

Pozn. k režimom ťahu. Pri priamom zadaní sa \(\sigma_h\) a \(z\) nastavujú nezávisle — slúži to na preskúmanie tvaru reťazovky pri zvolenom ťahu a zaťažení. To však nemodeluje reakciu rozpätia: ak na vodič sadne námraza, rozpätie je dané a vodič sa môže predĺžiť len pružne, takže narastie priehyb aj ťah. Na to slúži druhý režim — stavová rovnica.

Stavová rovnica

Stavová rovnica prepočítava mechanické napätie zo známeho stavu \(0\) (\(\sigma_{h0}\), \(\vartheta_0\), \(z_0\)) do nového klimatického stavu \(1\) daného teplotou \(\vartheta_1\) a preťažením \(z_1\):

Ide o kubickú rovnicu s \(A = 1\) a \(C = 0\), ktorej reálny koreň sa dá vyjadriť analyticky. Rozpätie \(a\) je v nej nahradené stredným rozpätím \(a_{St}\); pre jedno rozpätie s prevýšením \(\Delta h\) z neho vychádza:

Vypočítané \(\sigma_{h1}\) potom určuje \(F_h = \sigma_{h1} S\) aj parameter \(c = \sigma_{h1}/(\gamma z_1)\), a teda celý tvar priehybovej krivky. Ohrev vodiča napätie znižuje a priehyb zväčšuje, prídavné zaťaženie námrazou napätie naopak zvyšuje. V slovenských podmienkach sa za stav \(0\) štandardne volí teplota \(-5\,^\circ\mathrm{C}\).

V súmernom poli (\(V_1 = V_2\)) splývajú všetky tri priehyby do jednej hodnoty v strede rozpätia, pretože \(a' = a/2\) aj \(x_{vid} = a/2\).

V nesúmernom poli sa výrazne odlišuje len \(f_{max}\), pretože sa meria od vodorovnej priamky \(j\). Charakteristický a viditeľný priehyb zostávajú takmer totožné — a nejde o chybu výpočtu. Miesto najväčšieho priehybu je od stredu rozpätia vzdialené len:

Keďže priehybová krivka má v okolí svojho maxima nulovú deriváciu, je tam veľmi plochá a rozdiel hodnôt vychádza až z druhého rádu:

Pri bežných rozpätiach to robí stotiny až desatiny milimetra (napr. \(a = 300\) m, \(W = 15\) m, \(\sigma_h = 30\) MPa → \(x_{vid}\) je 0,21 m od stredu a rozdiel priehybov len 0,023 mm). Práve preto sa v praxi používa charakteristický priehyb v strede rozpätia — meria sa jednoducho a od skutočného maxima sa líši zanedbateľne. Rozdiel narastie až pri veľmi nízkom ťahu a veľkom prevýšení: pri \(a = 500\) m, \(W = 200\) m a \(\sigma_h = 6\) MPa je to už asi 0,9 m. V paneli výsledkov je rozdiel \(f_{vid} - f_{cha}\) vypísaný v milimetroch, takže si to možno overiť.