Symetrické zložky trojfázovej sústavy

Symetrické zložkové sústavy

Fázové napätia [V]
Fázové uhly [°]
Animácia

Rýchlosť 0 = zastavené. Posúvaním uhlov pri zastavení možno nastavovať fázory ručne.

Metódu symetrických zložkových sústav predstavil v roku 1918 Charles Legeyt Fortescue. Ide o matematický nástroj, ktorý umožňuje analyzovať nesymetrické stavy (napr. poruchy, skraty, nesymetrické zaťaženie) v inak symetrickej trojfázovej elektrickej sústave.

Podstatou metódy je rozloženie ľubovoľného nesymetrického systému trojfázových veličín (napätí alebo prúdov) na tri symetrické trojfázové sústavy:

Nesymetrická sústava =súsledná zložka + spätná zložka + netočivá (nulová) zložka

Tento rozklad umožňuje riešiť nesymetrické stavy pomocou trojfázových symetrických sústav napätí a prúdov a na výpočet je možné použiť jednofázové modely.

Symetrické zložkové sústavy nie sú len matematickou interpretáciou trojfázovej sústavy, ale je ich možné v elektrickej sieti identifikovať; ich vznik sa využíva pre hodnotenie kvality elektriny (spätná zložka) alebo v elektrických ochranách ako kritérium chránenia (napr. vznik netočivej zložky identifikuje jednofázovú poruchu).

Základné symetrické zložkové sústavy:

  1. Súsledná zložka (positive sequence, index „1" alebo „+")
    • Predstavuje trojfázovú sústavu, v ktorej majú všetky fázy rovnakú amplitúdu a fázový posun 120°.
    • Poradie fáz je \(L1 \rightarrow L2 \rightarrow L3\).
    • Vytvára točivé magnetické pole v smere pôvodnej sústavy.
    • Reprezentuje bezporuchový symetrický stav siete.
  2. Spätná zložka (negative sequence, index „2" alebo „–")
    • Tiež predstavuje symetrickú trojfázovú sústavu s rovnakými amplitúdami a fázovým posunom 120°.
    • Poradie fáz je \(L1 \rightarrow L3 \rightarrow L2\), t. j. opačné ako pri súslednej zložke.
    • Vytvára magnetické pole rotujúce opačným smerom ako pôvodná sústava.
    • Vzniká pri poruchách alebo nesymetrickom zaťažení.
  3. Netočivá (nulová) zložka (zero sequence, index „0")
    • Predstavuje trojfázovú sústavu, v ktorej sú všetky fázy rovnaké (amplitúda aj fáza).
    • Fázový posun medzi fázami je nulový (\(0°\)).
    • Nevytvára točivé magnetické pole.
    • Je striedavá s rovnakou frekvenciou ako pôvodná sústava (nie jednosmerná!).
    • Objavuje sa pri poruchách (napr. spojenie fázy so zemou) aj pri nesymetrickom zaťažení.

Zložky parametrov elektrických zariadení

Pri analýze nesymetrických stavov v elektrickej sieti, v ktorej sú zapojené elektrické zariadenia (transformátory, generátory, vedenia), je potrebné zostaviť náhradné schémy a vypočítať elektrické parametre zariadení v zložkových sústavách (súslednej, spätnej a nulovej). Tento prístup tak umožňuje jednoduchší výpočet prúdov a napätí, napr. pri nesymetrických poruchách. Pre každé trojfázové zariadenie je možné zostaviť náhradnú schému v zložkových sústavách a elektrické parametre (impedancia, admitancia) vyjadriť v zložkových sústavách:

\[ \mathbf{Z}_{L123} = \mathbf{A}\,\mathbf{Z}_{012}\,\mathbf{A}^{-1}, \qquad \mathbf{Y}_{L123} = \mathbf{A}\,\mathbf{Y}_{012}\,\mathbf{A}^{-1}, \]

kde

\[ \mathbf{Z}_{L123} = \begin{bmatrix} Z_{L11} & Z_{L12} & Z_{L13} \\ Z_{L21} & Z_{L22} & Z_{L23} \\ Z_{L31} & Z_{L32} & Z_{L33} \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{Z}_{012} = \begin{bmatrix} Z_0 & 0 & 0 \\ 0 & Z_1 & 0 \\ 0 & 0 & Z_2 \end{bmatrix}, \]

a matica transformácie je

\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{bmatrix}, \qquad a = e^{j\,120°}. \]

Výpočet impedancie v súslednej, spätnej a nulovej zložkovej sústave z matice vlastných a vzájomných impedancií trojfázového zariadenia:

\begin{align} Z_0 &= \frac{1}{3}\!\left(Z_{L11}+Z_{L22}+Z_{L33} +Z_{L12}+Z_{L23}+Z_{L31} +Z_{L21}+Z_{L32}+Z_{L13}\right), \nonumber\\ Z_1 &= \frac{1}{3}\!\left(Z_{L11}+Z_{L22}+Z_{L33} +a\,Z_{L12}+a^2 Z_{L23}+a\,Z_{L31} +a^2 Z_{L21}+a\,Z_{L32}+a^2 Z_{L13}\right), \nonumber\\ Z_2 &= \frac{1}{3}\!\left(Z_{L11}+Z_{L22}+Z_{L33} +a^2 Z_{L12}+a\,Z_{L23}+a^2 Z_{L31} +a\,Z_{L21}+a^2 Z_{L32}+a\,Z_{L13}\right), \nonumber \end{align}

kde \(a = e^{j\,120°}\).

Elektrické zariadenia z pohľadu elektrických parametrov a náhradných schém v jednotlivých zložkových sústavách je možné rozdeliť do troch skupín:

  1. Statické (netočivé) zariadenia bez magnetických väzieb medzi fázami
    • Elektrické parametre a náhradné schémy v jednotlivých zložkách sú rovnaké, ich veľkosť nezávisí od sledu fáz pripojeného napätia:
      \[R_1 = R_2 = R_0, \quad X_1 = X_2 = X_0, \quad \bar{Z}_1 = \bar{Z}_2 = \bar{Z}_0\]
    • Patria sem napr. sériové cievky (reaktory, vzduchové cievky na obmedzovanie skratových prúdov), kondenzátory.
  2. Statické (netočivé) zariadenia s magnetickými väzbami medzi fázami
    • Elektrické parametre a náhradné schémy v súslednej a spätnej sústave sú rovnaké, ich veľkosť nezávisí od sledu fáz pripojeného napätia:
      \[R_1 = R_2, \quad X_1 = X_2, \quad \bar{Z}_1 = \bar{Z}_2\]
    • Elektrické parametre a náhradné schémy v netočivej sústave sú závislé od konštrukcie zariadenia a od spôsobu uzemnenia uzla vinutí. Patria sem transformátory a vedenia.
  3. Točivé zariadenia s magnetickými väzbami medzi fázami
    • Elektrické parametre a náhradné schémy v jednotlivých zložkách sú nerovnaké. Veľkosť elektrických parametrov v súslednej a spätnej sústave závisí od sledu fáz pripojeného napätia, náhradné schémy v súslednej a spätnej sústave sú rovnaké:
      \[R_1 \neq R_2 \neq R_0, \quad X_1 \neq X_2 \neq X_0, \quad \bar{Z}_1 \neq \bar{Z}_2 \neq \bar{Z}_0\]
    • Patria sem generátory a motory.

Všeobecne platí, že náhradné schémy elektrických zariadení v súslednej a spätnej sústave sú rovnaké, náhradné schémy v netočivej zložke sú závislé od konštrukcie zariadenia a od spôsobu uzemnenia uzla vinutí zariadenia.

Rozklad trojfázovej sústavy napätí na symetrické zložky a spätná transformácia.

Rozloženie trojfázových napätí do symetrických sústav:

  • Súsledná zložka pre referenčnú fázu L1:
    \[ \bar{U}_{1L1} = \bar{U}_1 = \frac{1}{3}\left( \bar{U}_{L1} + a\,\bar{U}_{L2} + a^2\bar{U}_{L3} \right) \]
  • Spätná zložka pre referenčnú fázu L1:
    \[ \bar{U}_{2L1} = \bar{U}_2 = \frac{1}{3}\left( \bar{U}_{L1} + a^2\bar{U}_{L2} + a\,\bar{U}_{L3} \right) \]
  • Netočivá (nulová) zložka pre referenčnú fázu L1:
    \[ \bar{U}_{0L1} = \bar{U}_0 = \frac{1}{3}\left( \bar{U}_{L1} + \bar{U}_{L2} + \bar{U}_{L3} \right) \]

Transformácia zo symetrických zložiek do pôvodnej trojfázovej sústavy:

\begin{align} \bar{U}_{L1} &= \bar{U}_0 + \bar{U}_1 + \bar{U}_2 \nonumber\\ \bar{U}_{L2} &= \bar{U}_0 + a^2\bar{U}_1 + a\,\bar{U}_2 \nonumber\\ \bar{U}_{L3} &= \bar{U}_0 + a\,\bar{U}_1 + a^2\bar{U}_2 \nonumber \end{align}

Alebo:

\begin{align} \bar{U}_{L1} &= \bar{U}_{1L1} + \bar{U}_{2L1} + \bar{U}_{0L1} \nonumber\\ \bar{U}_{L2} &= \bar{U}_{1L2} + \bar{U}_{2L2} + \bar{U}_{0L2} \nonumber\\ \bar{U}_{L3} &= \bar{U}_{1L3} + \bar{U}_{2L3} + \bar{U}_{0L3} \nonumber \end{align}

Matica transformácie zo zložiek do fáz:

\[ \begin{bmatrix} \bar{U}_{L1}\\ \bar{U}_{L2}\\ \bar{U}_{L3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{U}_0\\ \bar{U}_1\\ \bar{U}_2 \end{bmatrix} \]

Matica transformácie zo fáz do zložiek:

\[ \begin{bmatrix} \bar{U}_0\\ \bar{U}_1\\ \bar{U}_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2\\ 1 & a^2 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{U}_{L1}\\ \bar{U}_{L2}\\ \bar{U}_{L3} \end{bmatrix} \]

kde operátor \(a = e^{j\,120°} = -\tfrac{1}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\;a^2 = e^{j\,240°} = -\tfrac{1}{2} - j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\).