Elektrický výkon

Interaktívny výkon AC
3.00
1.00
30

Elektrický výkon je fyzikálna veličina, ktorá vyjadruje množstvo elektrickej energie prenesenej alebo spotrebovanej za jednotku času. Ak sa napätie \(u(t)\) a prúd \(i(t)\) menia podľa sínusového priebehu, ich okamžité hodnoty sú dané vzťahmi:

\[ u(t) = U_{\text{max}} \sin(\omega t) \]
\[ i(t) = I_{\text{max}} \sin(\omega t - \varphi) \]

Okamžitý výkon potom bude:

\[ p(t) = u(t) \cdot i(t) = U_{\text{max}} I_{\text{max}} \sin(\omega t) \sin(\omega t - \varphi) \]

Ak použijeme efektívne hodnoty:

\[ p(t) = 2 U_{\text{RMS}} I_{\text{RMS}} \sin(\omega t) \sin(\omega t - \varphi) \]

Tento výraz môžeme ďalej upraviť pomocou známeho vzťahu1:

\[ p(t) = U_{\text{RMS}} I_{\text{RMS}} \big[ \cos \varphi - \cos(2\omega t - \varphi) \big] \]

Z uvedeného vyplýva, že okamžitá hodnota výkonu striedavého prúdu je funkciou času a kmitá s dvojnásobnou frekvenciou okolo hodnoty \(U_{\text{RMS}} I_{\text{RMS}} \cos \varphi\), ako je znázornené na obrázku.

Keď je uhol \(-90^\circ < \varphi < 90^\circ\), krivka výkonu má v každej perióde dvakrát zápornú hodnotu a ich časové rozpätie je:

\[ t_{\text{negatívne}} = \frac{\varphi}{2\pi} T \]

V týchto časových úsekoch je výkon záporný, čo znamená, že energia prúdi opačným smerom — od spotrebiteľa späť k zdroju.

V prípade \(\varphi = 0\), teda keď sú prúd a napätie vo fáze, platí:

\[ p(t) = U_{\text{RMS}} I_{\text{RMS}} [1 - \cos(2\omega t)] \]

Krivka výkonu \(p(t)\) sa v tomto prípade nachádza celá v kladnej oblasti a výkon je maximálny.

Naopak, ak \(\varphi = 180^\circ\), prúd je s napätím v protifáze, a preto je \(p(t)\) počas celej periódy záporné — tok výkonu je opačný, teda od spotrebiteľa k zdroju.

Ak \(\varphi = 90^\circ\) alebo \(\varphi = -90^\circ\), teda keď je medzi prúdom a napätím fázový posun štvrť periódy, potom platí:

\[ p(t) = -U_{\text{RMS}} I_{\text{RMS}} \sin(2\omega t) \]

V tomto prípade je krivka výkonu vzhľadom na os symetrická sínusoida s dvojnásobnou frekvenciou, ktorej kladné a záporné plochy sú rovnaké. Preto je výsledný výkon za jednu periódu nulový.

Vo všeobecnosti sa činný výkon \(P\) v jednej perióde určí ako:

\[ \begin{align} P &= \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u(t) \cdot i(t) \, dt = \frac{1}{T} U_{\text{RMS}} I_{\text{RMS}} \left[ \cos \varphi \int_{0}^{T} \cos \, dt - \int_{0}^{T} \cos (2\omega t - \varphi) \, dt \right] \\ &= U_{\text{RMS}} I_{\text{RMS}} \left[ \cos \varphi - \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \cos (2\omega t - \varphi) \, dt \right] \end{align} \]

Druhý člen výrazu \(\int_{0}^{T} \cos(2\omega t - \varphi) \, dt\) je nulový, pretože priemer funkcie \(\cos(2\omega t - \varphi)\) za jednu periódu je nulový.

Konečný vzťah pre činný výkon striedavého prúdu je teda:

\[ P = U_{\text{RMS}} I_{\text{RMS}} \cos \varphi \]

Samotný súčin efektívnych hodnôt napätia a prúdu neudáva výkon. Reálny výkon sa získa až vynásobením tohto súčinu kosínusom fázového posunu \(\varphi\) medzi prúdom a napätím. Tento činiteľ sa nazýva účinník (v staršej literatúre aj faktor účinnosti). Samotný súčin efektívnych hodnôt sa nazýva zdanlivý výkon \(S\) [VA]:

\[ S = U_{\text{RMS}} I_{\text{RMS}} \]

Na základe uvedeného možno zdanlivý výkon rozdeliť na jeho reálnu zložku – činný výkon \(P\) a imaginárnu zložku – jalový výkon \(Q\) [VAr]:

\[ Q = U_{\text{RMS}} I_{\text{RMS}} \sin \varphi \]

Vzájomný vzťah medzi \(P\), \(Q\) a \(S\) je znázornený na výkonovom trojuholníku. Zdanlivý výkon možno určiť z hodnôt \(P\) a \(Q\) podľa vzťahu:

\[ S = \sqrt{P^2 + Q^2} \]

a účinník ako:

\[ \cos \varphi = \frac{P}{S} \]

Zdanlivý výkon vzniká, ak je fázový posun \(\varphi\) nenulový. Ak tento uhol leží v intervale \(\langle -90^\circ, 90^\circ \rangle\), smer činného výkonu zostáva od zdroja ku spotrebiču. Pre \(\varphi < 0\) hovoríme o výkone kapacitného charakteru, a pre \(\varphi > 0\) o výkone indukčného charakteru. Fázový posun medzi prúdom a napätím je spôsobený prítomnosťou kapacitnej alebo induktívnej reaktancie, ktorá spôsobuje oneskorenie prúdu voči napätiu (cievka) alebo napätia voči prúdu (kondenzátor).

1 \(\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{1}{2} [ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) ]\)